如何在可行的GLS或PCSE方法上区别固定效应分析和随机效应分析

FE / RE 模型可统一表述为：

      y_it  =  u_i + x_it*b + e_it                 (1)

对于FE，个体效应 u_i 被视为一组解释变量，为非随机变量，即 N-1 个虚拟变量；

对于RE，个体效应 u_i被视为干扰项的一部分，因此是随机变量，假设其服从正态分布，即 u_i~N(0, sigma_u^2)；

在上述两个模型的设定中，e_it 都被视为“干干净净的”干扰项，也就是我们学习OLS第一讲时那个背负着众多假设条件，但长相极为俊俏的干扰项，e_it~N(0, sigma_e^2)。

需要注意的是，在 FE 模型中，只有一个干扰项 e_it，它可以随公司和时间而改变，所有个体差异都采用 u_i 来捕捉。而在 RE 模型中，其实有两个干扰项：u_i 和 e_it，差别在于，第一种干扰项不随时间改变（这也是所谓的“个体效应”的含义），而第二类干扰项可以随时间改变。

因为上述对 FE 和 RE 中个体效应 u_i 的假设之差异，二者的估计方法亦有差异。FE可直接采用OLS估计，而RE则必须使用GLS才能获得更为有效的估计量。


再来看 xtgls 和 xtpcse 这两个命令所对应的模型：
在Greene(2000, chp15) 中，他并未把此类模型称为”Panel data model”，而是称为“Systems of Regression Equations Model”。模型设定如下：

      y_it  =  a + x_it*b + e_it                 (2)

可以看出，在这个模型设定中，只有一个不带下标的常数项 a。因此，你可以认为这就是一个简单的线性回归模型，只是我们所有分析的数据是“面板资料”，而不是“截面资料”。为了能反映出面板的特征，就必须在干扰项上做文章。

假设模型以公司为单位表示如下（其中，y_1 是一个 TX1 维列向量，表示第一家公司）：

  * | y_1 |   | X_1 |       | e_1 |
* | y_2 |   | X_2 |       | e_2 |
* |  .  |   |  .  |       |  .  |
* |  .  | = |  .  | * b + |  .  |
* |  .  |   |  .  |       |  .  |
* | y_n |   | X_n |       | e_n |

当假设存在截面异方差时，即不同的公司面临的干扰项具有不同的波动性（Var(e_1) != Var(e_2)）,则干扰项的方差-协方差矩阵可表示为：

*– 截面异方差

*     E[e_i*e_i’] = [s_i^2]  \\ 只写出其中一个元素，下同
*
*         | s1^2    0   …   0   |
*         |   0   s2^2  …   0   |
*         |         .             |
*     V = |         .             |
*         |         .             |
*         |   0     0   …  sn^2 |

若考虑截面相关，即公司A和公司B面临的干扰可能存在相关性，则V矩阵中的非对角元素不再为零：

*– 截面相关

*     E[e_i*e_i’] = s_ij^2
*
*         | s_11  s_12   …  s_1n  |
*         | s_21  s_22   …  s_2n  |
*         |         .               |
*     V = |         .               | * sigma^2
*         |         .               |
*         | s_n1  s_n2   …  s_nn  |

如考虑序列相关，则对于同一家公司而言，不同时间上的干扰项存在相关性，那么每家公司将对应一个TxT的方块矩阵，该矩阵的非对角元素不为零，可简写如下（不严谨）：

*– 序列相关

*     E[e_i*e_i’] = s_i^2 * M_i
*
*         | s1^2*M_1      0      …     0     |
*         |     0      s2^2*M_2  …     0     |
*         |               .                    |
*     V = |               .                    |
*         |               .                    |
*         |     0         0      …  sn^2*M_n |

* GLS 估计

  *       b    = [X’V^{-1}*X]^{-1}[X’V^{-1}y]
*     Var(b) = [X’V^{-1}*X]^{-1}



小结：


整体而言，xtgls 和 xtpcse 这两个命令是我们学习的GLS估计方法的一个综合应用，重点都在干扰项的方差协方差矩阵的设定上做文章。而FE/RE 模型则单独列出一个 u_i来，以便充分反应所谓的“个体效应”。

两套模型并无优劣之分，只是建模的方法有所差异而已。至于选择哪一类，完全决定于你如何去理解和设定不同公司之间的差异和相关性，以及公司内部不同年度之间的相关性